Вівторок, 16.10.2018, 08:32
Вітаю Вас Гість | RSS

Кунцівська школа    
ВІРТУАЛЬНИЙ МЕТОДИЧНИЙ КАБІНЕТ

Статистика

Онлайн всього: 7
Гостей: 7
Користувачів: 0

Каталог файлів

Головна » Файли » Уроки » математика

Цілі числа
[ Викачати з сервера (1.46 Mb) ] 22.09.2018, 17:58
;

Цілі числа
Вивчення поняття цілого числа
в цікавій ігровій формі

Автор матеріалу: Н.Г. Скнар

Пропонується методика введення і виконання дій над числами, що вивчаються в шкільному курсі математики 5-6 класів, за допомогою ігрових ситуацій.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ:
Десятковий дріб: поява десяткових дробів
Десятковий дріб: додавання та віднімання
Десятковий дріб: множення та ділення

Виникнення цілого числа

Б у р а т і н о . Мальвіно, привіт! Ти про віднімання чула?

М а л ь в і н а (здивовано). Так.

Б у р а т і н о . Напевно, й віднімати умієш?

М а л ь в і н а . Так.

Б у р а т і н о . Будь–яке число від будь–якого відняти зможеш?

М а л ь в і н а . Напевно, зможу.

Б у р а т і н о . Ну, тримайся! Скільки буде 6 – 4?

М а л ь в і н а . 6 – 4 = 2.

Б у р а т і н о . 6 – 6 = ?

М а л ь в і н а . 6 – 6 = 0.

Б у р а т і н о . Скільки буде... 6 – 8? А?

М а л ь в і н а . 6 – 8? Стривай, стривай... Що ти віднімаєш?

Б у р а т і н о . Ну, нехай це будуть яблука.

М а л ь в і н а . Якщо у тебе є 6 яблук, то, наприклад, 4 з них відняти можна і всі 6 відняти можна... Але відняти 8 яблук з 6 — такого нікому не зробити.

Б у р а т і н о . Припустимо, в мене відібрати й 4 яблука нікому не вдається. Хіба що сам віддам... Так ти гадаєш, що такий приклад «6 – 8 = ?» не має сенсу?

М а л ь в і н а . Іноді, напевно, має... Я вчора ходила в крамницю за цукерками. У мене з собою було 6 сольдо, а за коробку цукерок потрібно було сплатити 8. Цукерки мені дали, але в мене залишився борг 2 сольдо.

Б у р а т і н о . 6 сольдо – 8 сольдо = 2 сольдо боргу. Отже, приклад 6 – 8 = ? — це приклад про гроші. Може, не тільки про гроші, а й ще про щось?

Б у р а т і н о . Тюбику, привіт! Бачиш таке: 6 – 8 = ? Б’юся об заклад, таку різницю нізащо намалювати не зможеш?

Т ю б и к . Треба спробувати (малює). Звичайно, можу.

М а л ь в і н а . Як же ці нові числа записувати?

З’являється Шпунтик.

Ш п у н т и к . Що робимо? Рівень води в ставку вимірюємо? Я теж вимірював. Я скріпив дві лінійки і встромив у дно так, щоб нуль був точнісінько на поверхні води.

Г в и н т и к . –2, –4, –14 — такі числа я вже зустрічав там, де йшлося про температуру –2 — значить холодно; –12 — ще холодніше; +3 — тепло; +12 — ще тепліше. А градусник чимось схожий на твій вимірювальний прилад з лінійок!

Ш п у н т и к . Нічого дивного! Температура, як і рівень води в ставку, то підвищується, то знижується.

Т о р т и л а . Під час віднімання більшого числа від меншого з’являються нові числа, які математики позначають знаком «мінус» і називають від’ємними.

М а л ь в і н а . 6 – 8 = –2; «–2» — це від’ємне число.

Т о р т и л а . Поглянь-но, що там намалював Тюбик.

Модуль цілого числа

Заповніть таблицю, дібравши відповідно протилежне значення.

Дане поняття Протилежне поняття
Тепло
Північний полюс
Світло
Відштовхування
Добро
Від’ємні числа

Бібліотека видала a книг, прийняла b книг. Якими мають бути числа a і b, якщо книжковий фонд не змінився?

Ш п у н т и к . На числовий осі протилежні числа знаходяться на однаковій відстані від початку відліку.

Ц в і р к у н . Математики говорять, що протилежні числа мають однакову абсолютну величину, або модуль. Це саме та відстань, про яку зараз казав Шпунтик.

Г в и н т и к . Оскільки це відстань, то її можна виміряти. Питання лише в тому — в яких одиницях? Можливо, в см або в мм?

Ш п у н т и к . Її можна вимірювати одиничними відрізками, тими, що ви для числової осі обрали.

Ц в і р к у н . До речі, слово «модуль» (modulus) у перекладі з латини означає «міра».

Г в и н т и к . Як не кресли, завжди числа +3 та –3 будуть на відстані трьох одиничних відрізків від початку відліку. Отже, абсолютна величина обох цих чисел дорівнює 3. Запишу собі: «Модуль числа — це відстань на числовій осі в одиничних відрізках від початку відліку до точки, що відповідає цьому числу».

Ц в і р к у н . Модуль числа а позначається |а|.

М а л ь в і н а. Тоді можна записати |+3| = 3? |–3| = 3.

Ш п у н т и к . Отже, модуль додатного числа — це власне число, а модулем від’ємного числа є число, йому протилежне. Значить, модуль — завжди додатне число.

П ’ є р о . А модуль нуля? Нуль? Оскільки йому на числовій осі початок відліку відповідає.

М а л ь в і н а . Запишемо:

|a| = a, якщо а — додатне число;
|a| = –а, якщо а — від’ємне число;
|a|= 0, якщо а = 0.

П ’ є р о . Так, модуль — чудовий винахід: негативне можна зробити позитивним.

|Карабас – Барабас| = добрий дядя.
Проте: |Мальвіна| = Мальвіна.

Але все одно: |порожня кишеня| = порожня кишеня.

Порівняння цілих чисел

Б у р а т і н о . От цікаво, яке число більше: «+3» або «–5»?

Г в и н т и к . 5 км вліво більше, ніж 3 км вправо.

М а л ь в і н а . Але ж 3 сольдо в кишені більше, ніж 5 сольдо боргу. Цвіркун. Порівнювати, я вважаю, треба так, щоб спосіб порівняння натуральних чисел зберігся, коли ми працюємо з цілими числами. Давайте вважати так: чим далі праворуч число на числовій осі, тим воно більше.


–5 < 3

Б у р а т і н о . Тоді дістанемо, що будь-яке додатне число більше за будь-яке від’ємне.

М а л ь в і н а . Будь-яке від’ємне число менше від додатного і менше від нуля. Краще нічого не мати, ніж мати борги.

Г в и н т и к . Тоді дістанемо, що –8 < –5, але нам зі Шпунтиком важливіше, що від нуля до позначки «–8» їхати довше, ніж від нуля до «–5».

Ц в і р к у н . Відстань — це модуль. Гвинтик і Шпунтик мову ведуть саме про модуль.

|–8| > |–5І, але –8 < –5.

Г в и н т и к . А що — дуже корисний висновок: з двох від’ємних чисел менше те, модуль якого більший.

Отже, головне про цілі числа.

1. Усі цілі числа можна зобразити так:

точка O — початок відліку
відрізок ОА — одиничний відрізок
додатний напрямок
числова вісь (координатна пряма)

2. Протилежні числа:

3 та –3,
1 та –1,
a та – a.

3. Знак мінус «–»:

знак від’ємного числа –5;
знак числа, протилежного даному — (–5) = 5;
знак дії віднімання.

Знак плюс «+»:

знак додатного числа +5;
знак дії додавання.

4. Цілі числа:

5. Модуль числа a (modulus — міра) — відстань від точки O(0) на прямій до точки А(а).

|a|; |3| = 3; |3| = 3; |0| = 0.

Для будь–яких a, |а| — число не від’ємне.

6. Більше — праворуч;
Менше — ліворуч.

Кожне додатне число більше за нуль і більше за будь–яке від’ємне число (6 > 0,6 > –10).

Кожне від’ємне число меншим є від нуля і менше від будь–якого додатного числа (–7 < 0, –7 < 1).

З двох від’ємних чисел менше те, модуль якого більший: –10 < –3, оскільки |–10| > |–3|.

Додавання цілих чисел

Б у р а т і н о (витягує записку і розглядає її)

Я вважаю, тут якась таємниця!

Г в и н т и к . Постривай–но, Буратіно. Мені здається, що в записці йдеться зовсім не про борги й прибутки, а про рівень води в річці.

Ш п у н т и к . А мені здається, що в таблиці записані зміни температури.

1. Додавання чисел з однаковими знаками

2. Додавання чисел з різними знаками

3. Додавання до нуля

4. Додавання протилежних чисел

(+5) + (+15) = +20

(–5) + (–20) = –25

(+7) + (+5) = +12

(–8) + (–3) = –11
(+5) + (–15) = –10

(–5) + (+20) = +15

(+7) + (–5) = +2

(–8) + (+3) = –5
(–5) + (+5) = 0

(–11) + (+11) = 0

0 + (–10) = –10

(+10) + 0 = +10

Додавання чисел

М а л ь в і н а . Буратіно! Дивись, я знайшла в старому підручнику бабусі Тортили задачку про тебе: «Прибуток Буратіно склав 6 сольдо. Борг Буратіно склав 8 сольдо. Яке фінансове становище Буратіно зараз?»

Буратіно запускає руку в кишеню, щоб витягти монетки.

М а л ь в і н а (суворо). Ні, ні! Не витягуй свої сольдо, а розв’яжи задачу! Додай борг до прибутку!

Б у р а т і н о . Чому — додай? Щоб розв’язати задачу, потрібно від прибутку відняти борг: 6 – 8 = –2

Т о р т и л а . Різниця між меншим натуральним числом і більшим натуральним числом, дорівнює надлишку більшого числа відносно меншого, взятому зі знаком «–». Ця різниця є числом від’ємним.

Ц в і р к у н . Для того, щоб відняти від одного числа інше, потрібно до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику. Чому, наприклад, дорівнює 6 – (–8) = ?

М а л ь в і н а . Щоб від 6 відняти 8, треба до 6 додати +8, оскільки число +8 протилежно числу –8.

Отже, віднімання можна замінити додаванням.

Як? 3 – 8 = 3 + (–8) = –5

Щоб від одного числа відняти інше, треба до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику.

Властивості віднімання
a – 0 – a, aa = 0, 0 – a = –a

Множення цілих чисел

М а л ь в і н а . Додавати й віднімати цілі числа ми навчилися, тепер на нас чекає...

Б у р а т і н о . Знову вчитися!

М а л ь в і н а . А як же? Цілі числа нічим не гірші від натуральних. У них теж повинна бути дія множення. Із додатними числами все просто, все визначено:

(+3) • (+2) = (+2) • (+3) = +6 = 6.

А як помножити 3 • (–2), або (–2) • 3 або (–2) • (–3)?

3 • 2 означає:

Так? Так...

Б у р а т і н о . Ну, нехай і 3 • (–2) теж буде так.

М а л ь в і н а . Як?

Б у р а т і н о .

М а л ь в і н а . Дістали: 3 – 2 = 6; 3 – (–2) = –6.

Змінився знак в одного з двох множників, змінився і знак добутку. Отримаємо чотири випадки:

(+3) • (+2) = 6;
(+3) • (–2) = –6;
(–3) • (+2) = –6;
(–3) • (–2) = 6.

Б у р а т і н о . Ти що пропонуєш зубрити цілих чотири правила? Дудки! Більше ніж на два я не згодний. І так голова як макітра.

М а л ь в і н а . Мабуть, і насправді можна замість чотирьох правил обійтися двома.

1. Добуток двох чисел з однаковими знаками є додатне число, модуль якого дорівнює добутку модулів.

2. Добуток двох чисел із різними знаками є від’ємне число, модуль якого дорівнює добутку модулів.

Б у р а т і н о . Це вже набагато краще. Можна вивчити.

П ’ є р о . Тільки ми забули про нуль.

Б у р а т і н о .

2 • 0 = 0 • 2 = 0
0 • 0 = 0.

Пройде?

М а л ь в і н а . Якщо хоча б один із множників дорівнює нулю, то й добуток дорівнює 0. Це правило потрібно зберегти на випадок, коли один з множників — від’ємне число.

(–2) • 0 = 0 • (–2) = 0

Г в и н т и к . А це картинка для визначення знака, так?

Т ю б и к . Так.

П ’ є р о (завиває)

Я в здивуванні, я в здивуванні.
Як бути з діленням,
Як бути з діленням...
Я в здивуванні, нерозумінні...

М а л ь в і н а . П’єро! Причому тут нерозуміння? Потрібно розв’язувати задачі!

От скажи, як знайти невідомий множник у першій задачі?

П ’ є р о . У першій задачі всі числа натуральні, знайти множник просто: потрібно добуток поділити на перший множник.

3 • _ =105, _ =105 : 3 = 35, оскільки 3 • 35 = 105.

Б у р а т і н о . А що, якщо я буду так само розв’язувати другу задачу?

_ • 3 = – 105, _ = – 105) : 3 = –35, оскільки –35 • 3 = –105.

Ц в і р к у н . Ти розумієш, що ти зробив?

Б у р а т і н о . Насправді, нічого такого...

Ц в і р к у н . Ти дав визначення діленню цілих чисел!

Б у р а т і н о . Та нічого я не давав, а задачку розв’язав.

Ц в і р к у н . Ти запропонував під діленням цілих чисел розуміти операцію, обернену множенню чисел. Так само, як було із діленням натуральних чисел.

Отже, поділити число a на число b — це означає знайти таке число c, яке, будучи помножене на b, дасть a.

Т ю б и к (щось швидко пише). Знак частки під час ділення визначається так само, як і знак добутку під час множення.

П’єро розв’язує третій приклад із запису Цвіркуна, використовуючи рисунки Тюбика:

3) –5 • x=105, x = 105 : (–5) = –21, оскільки (–5) • (–21) = 105,

і четвертий

4) (–15) • y = –105, y = (–105) : (–15) = 7, оскільки (–15) • 7 = –105.

М а л ь в і н а . Правила знаходження знака і модуля частки схожі на правила множення цілих чисел. Отже, можна, як і в множенні, зекономити на правилах — обійтися лише двома.

1. Частка двох цілих чисел з однаковими знаками додатна. Модуль частки дорівнює частці, отриманій від ділення модуля діленого на модуль дільника.

2. Частка двох цілих чисел з різними знаками від’ємна. Модуль частки дорівнює частці, отриманій від ділення модуля діленого на модуль дільника.

Т ю б и к . Погляньте, я ще краще намалював.

М а л ь в і н а . Ну, тепер залишилося особливі випадки ділення розглянути, випадки із нулем. Знайдемо значення x:

–3 • x = 0, 0 • x = –3, 0 – x = 0.

Б у р а т і н о (сам до себе). От прилипайло! (Раптом ляскає себе по чолу рукою.)

М а л ь в і н а (розв’язує перше рівняння):

–3 • x = 0, x = 0 : (–3) = 0, оскільки (–3) • 0 = 0.

М а л ь в і н а . Замість «мінус трьох» інші числа стояти можуть, так що 0 : a = 0. От тільки випадок a : 0 треба розглянути окремо. Для нього записано третє рівняння. Тепер друге рівняння розв’язуємо: 0 • x = –3, x = ...

Б у р а т і н о . Невже ж ти не бачиш, що скільки не шукай, не знайдеш відповідного для нього значення! Просто немає такого числа, яке б у разі множення на нуль, дало б –3.

М а л ь в і н а . Отже, рівняння 0 • x = –3 розв’язку не має.

Б у р а т і н о . А що скажеш про останнє рівняння?

М а л ь в і н а . 0 • x = 0. Рівняння з двома нулями. Чому ж тут може дорівнювати х! (Знизує плечима.) Знайшла! x = 1, тому що 0 • 1 = 0.

Б у р а т і н о . А x = –5 — не хочеш?

М а л ь в і н а . Насправді, 0 • (–5) = 0. Буратіно, я... я не розумію. Буратіно. Та просто на місце x у цьому рівнянні годиться будь-яке число

Будь-яке число • 0 = 0.

Ці-ка-во... Рівняння одне, а розв’язків багато. Зате рівняння 0 • x = –3 взагалі не має розв’язків.

М а л ь в і н а . Отже, хлопчики! Треба запам’ятати: 0 : a = 0. Нуль ділити можна! А от на нуль ділити не можна!


Категорія: математика | Додав: Nicolaj
Переглядів: 28 | Завантажень: 2 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Ім`я *:
Email *:
Код *:
Пошук
Реклама

Copyright Кунцівська ЗОШ I-III ступенів © 2018