Вівторок, 22.08.2017, 05:30
Вітаю Вас Гість | RSS

Кунцівська школа    
ВІРТУАЛЬНИЙ МЕТОДИЧНИЙ КАБІНЕТ

Статистика

Онлайн всього: 1
Гостей: 1
Користувачів: 0

Каталог файлів

Головна » Файли » Уроки » математика

Вивчаємо «Логіку»
[ Викачати з сервера (159.4Kb) ] 21.07.2017, 17:48

Вивчаємо «Логіку»

Автор: Тетяна Товстоп’ята

Розробка відповідає програмі факультативного курсу «Логіка» для 7-го класу (автор М. А. Вайнтрауб).

Розділ «Методи» (20 год)

Викладений матеріал містить досить доступну характеристику основних методів, запропонованих програмою винахідницьких прийомів, які відповідають математичному стилю мислення, завдань і задач, рекомендованих для тренування, а також для самостійної роботи.

Метод повного і неповного перебору

Суть цього прийому полягає в перевірці організованого розбору та аналізу всіх (або деяких спеціально вибраних) випадків, які потенційно можливі в ситуації, описаній у задачі. При цьому, якщо розглядаються всі можливі випадки, то мова йдеться про повний перебір, а якщо їх частину, то про неповний.

Існує два види повного перебору:

1) розгляд кожного випадку окремо;

2) груповий аналіз можливих розв’язків.

Першим видом перебору зручно користуватися, коли число можливих варіантів розв’язків невелике і розгляд всіх випадків практично реальний.

Наводимо приклади задач на пропоновані методи.

• У двозначному числі в два рази більше одиниць, ніж десятків. Якщо до цього числа додати 36, то отримаємо число, записане тими ж самими цифрами. Знайдіть це число.

Розв’язання:

Випишемо всі такі двозначні числа: 12, 24, 36, 48.

Знайдемо суму кожного із них і числа 36:

12 + 36 = 48;
24 + 36 = 60;
36 + 36 = 72;
48 + 36 = 84.

Очевидно, що умову задачі задовольняє тільки число 48.

Розглянемо приклади задач, для розв’язку яких використовується прийом повного перебору у вигляді групового аналізу можливих випадків розв’язків.

• Чи можна число 1234 представити у вигляді різниці квадратів двох цілих чисел?

Розв’язання.

Припустімо, що 1234 = а2b2, де а і b — цілі числа. Тоді 1234 = (а – b) x (а + b).

Розглянемо чотири випадки:

а) а — парне; b — парне;

б) а — парне; b — непарне;

в) а — непарне; b — парне;

г) а — непарне; b — непарне.

У випадках б і в числа (a + b) і (а – b) — непарні, отже, їх добутки непарні і не можуть дорівнювати парному числу 1234.

У випадках a і г числа (а + b) і (а – b) — парні, тому їх добутки діляться на 4 і не можуть дорівнювати числу 1234, яке на 4 не ділиться.

Отже, 1234 не можна представити у вигляді різниці квадратів двох чисел.

• Довести, що число 7х + 3 не є квадратом цілого числа ні при якому цілому х.

Розв’язання.

З умови задачі випливає, що число 7х + 3 при діленні на 7 дає остачу 3. З’ясуємо, чи можуть квадрати цілих чисел давати при діленні на 7 остачі 3.

Очевидно, що будь-яке ціле число може бути представлене у вигляді 7k, 7k + 1, 7k ± 2; 7k ± 3, де k — ціле число.

Знайдемо квадрати цих чисел.

(7k)2 = 7 • 7k2;

(7k ± 1І)2 = 7(7k2 ± 2k) + 1;

(7k ± 2)2 = 7(7k2 ± 4k) + 4;

(7k ± 3)2 = 7(7k 2 ± 6k + 1) + 2.

Отже, при діленні квадратів цілих чисел на 7 можна отримати такі остачі: 0, 1, 2, 4. Оскільки серед них нема остачі 3, робимо висновок, що дане число не є квадратом цілого числа.

Ще одним різновидом прийому перебору є так званий неповний перебір. Ним користуються в тих випадках, коли аналіз усієї сукупності можливих розв’язків неможливий або важкий.

Форми обстеження повного перебору різноманітні: і відсів явно зайвих варіантів, і перегляд одного із симетричних наборів випадків, і визначення меж області пошуку розв’язків.

Наведемо приклади:

• Якими цифрами можна заповнити «кросворд»

СОН
ОКО
НОС

Якщо по всіх горизонталях і вертикалях стоять точні квадрати?

Ідея розв’язання цієї задачі ґрунтується на тому факті, що серед тризначних чисел, які є точними квадратами, є тільки три з однаковими цифрами одиниць і сотень: 121; 484; 676, причому на роль числа ОКО підходить лише 676. У свою чергу, точних квадратів із цифрою 6 усередині всього два — це 169; 961.

Звідси випливає, що «кросворд» можна заповнити двома способами:

169   961
676 і 676
961   169

• Відновити запис:

(***)3 = 12******3

Ця задача розв’язується шляхом послідовного звуження області пошуку можливих варіантів тризначного числа, піднесеного до кубу. Спочатку з’ясовуємо, що це число може закінчуватися тільки цифрою 7, бо з цифр від 0 до 9 тільки 7 при піднесенні до кубу дає цифру 3. Серед сотень десятизначними можуть бути тільки куби чисел, не менших від 500 і лише 5003 починається з 12. Перевіряючи числа, близькі до 500, які закінчуються на 7, отримуємо, що це 4973 = 122763473.

Пропонується добірка навчальних задач, які допомагають оволодіти вміннями перебору всіх можливих випадків. Ці задачі можна використати для перевірки засвоєння учнями цих методів.

Наведемо приклад

• Напишіть десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Не змінюючи порядку цих цифр, розставте між ними плюси і мінуси (всього три знаки) так, щоб у результаті отримати 100.

Відповідь: 123 – 45 – 67 + 89 = 100

Аналогія це схожість між об’єктами в деякому відношенні. Використання аналогії в математиці є однією з основ пошуку розв’язання задач. Задачі цієї серії спрямовані на відпрацювання таких пізнавальних прийомів, як проведення словесних аналогій і знаходження аналогій між фігурами. Суть цих завдань полягає в такому: у верхньому ряду задачі три об’єкти (слова або фігури). Між першими двома з них існує певний зв’язок. Потрібно встановити і, міркуючи аналогічно, підібрати з нижнього ряду об’єкт, який має такий самий зв’язок із третім. Наприклад: великими буквами виділені три слова. Подумайте, як пов’язані перші два з них і вкажіть зі списку а) – г) четверте слово, яке точно так само пов’язане з третім.


• Зі списку слів вибрати назву результату дії:

зменшуване – різниця, множник – ?

а) сума, б) від’ємник, в) добуток, г) добуток.

Розв’язання.

Розглянувши слова, які стоять у верхньому ряду, помічаємо, що «зменшуване» і «різниця» — це назви компонентів дії віднімання, а «множник» — назва компонента дії множення. Отже, зі списку слів, записаних в нижньому ряду, потрібно вибрати назву результату дії множення, тобто слово «добуток».

• Знайти невідоме число.

Діапазон VIII
Магніт ?

Розв’язання.

Розглянемо верхній рядок завдання і проаналізуємо число, записане в римській системі нумерації. В слові «діапазон» 8 букв. Справа записана кількість букв у римській системі.

У слові «магніт» 6 букв. Записавши це число римськими цифрами, отримаємо невідоме.

• 3 даних чисел вибрати одне.

Розв’язання.

Розгляньмо верхній рядок завдання. З кругів, розділених на 2, 3, 5 частин, вибрали круг, розділений на три частини. Очевидно, із даних чисел потрібно вибрати те число, яке ділиться на 3.

Відповідь: 201.

• Знайти невідомі слова.

Розв’язання.

З першого рядка зрозуміло, що верхня частина малюнка — модель слова «молоток». Трикутники ілюструють відповідно перші і останні три букви даного слова («мол» і «ток»), буква «О» закреслена. Оскільки в нижній частині зображені ці трикутники, але перевернуті, то, очевидно, слова «мол» і «ток» потрібно прочитати справа наліво.

Відповідь: лом, кот.

• Вставити пропущене слово.

Розв’язання:

Число отримано після скорочення. Міркуючи аналогічно, у другому рядку завдання скорочуємо слово «дециметр».

Відповідь: ДМ.

• Вставити пропущене число.

Розв’язання:

Розглянемо перші рядки завдання. Корені даних рівнянь дорівнюють 3/8 і 4. Добуток отриманих чисел дає число, записане усередині квадрата. Корені рівнянь, записаних у другому рядку, дорівнюють 2/5 і 5.

Відповідь: 2.

• Лисиця спіймала 28 окунів і розклала їх на 7 купок так, що в усіх купках була різна кількість риб. Спробуйте і ви так розкласти.

Відповідь: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

• Розподіліть числа 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 на дві групи так, щоб сума двох будь-яких чисел з однієї групи не дорівнювала жодному числу з другої.

Відповідь: 2; 3; 5; 7 і 4; 6.

• Якщо між цифрами двозначного числа поставити цифру 2, то отримаємо тризначне число, яке дорівнює квадрату даного. Знайдіть це число.

Відповідь: 11, тому що 112 = 121.

• Двозначне число в сумі з числом, записаним тими самими цифрами, але в зворотному порядку, дає повний квадрат. Скільки таких чисел?

Відповідь: усього таких чисел чотири: 29; 92; 38; 83.

• Знайдіть усі двозначні числа, які діляться на добуток своїх цифр.

Відповідь: 11; 12; 15; 24; 36.

• Знайти суму всіх двозначних чисел, які при діленні на чотири дають в остачі одиницю.

Відповідь: 1210.

(Потрібно обчислити суму (13 + 17 + 21 + ... + 81 + 85 + 89 + 93 + 97.)

• У числі 0,1234567891011121...30 викреслити після коми 47 цифр так, щоб отримане число було найбільшим.

Відповідь: 0,9993.

Метод повної та неповної індукції

«За однією краплею води людина, яка мислить логічно може дійти висновку про існування Атлантичного океану й Ніагарського водоспаду, якщо вона не бачила їх ніколи про них не чула... За нігтями у людини, за п рукавами, взуттям, згином штанів на колінах, з потовщень шкіри на великому і вказівному пальцях, за виразом обличчя й вилогами сорочки — за такими дрібницями не важко вгадати її професію. Можна не сумніватися, що все це разом підкаже досвідченому спостерігачеві правильні висновки». Упізнаєте ці рядки?

Так, це цитата з програмної статті найвідомішого у світовій літературі детектива-консультанта Шерлока Холмса з творів А. Конан-Дойля.

Умовивід логічна операція, унаслідок якої з одного або кількох тверджень отримується нове твердження-висновок.

Індуктивний умовивід прийнято називати неповною індукцією, а результатом його є загальний висновок про весь клас предметів на основі знань лише деяких предметів даного класу.

Поряд з неповною індукцією виділяють повну індукцію. У її висновках про кожен із предметів, які входять до розглядуваної множини, стверджується, що він володіє певною властивістю. З цього випливає, що всі предмети даної множини володіють цією властивістю.

Наприклад: учитель, зачитуючи список учнів якогось класу, упевнюється, що кожен, названий ним учень, присутній. На підставі цієї перевірки учитель робить висновок, що присутні всі учні.

Принцип математичної індукції

Усі математичні твердження можна розділити на загальні й часткові.

Наприклад: розгляньмо два твердження:

1) будь-яке натуральне число, сума цифр якого ділиться на три, також ділиться на три;

2) число 255 ділиться на три.

Перше твердження загальне, друге — часткове.

Метод міркувань, при якому переходять від загальних тверджень до часткових, називають дедукцією (від лат. слова deduction виведення).

(Учням можна запропонувати приклади таких тверджень.)

Метод міркувань, при якому переходять від часткових тверджень до загальних, називають індукцією (від лат. слова induction — наведення).

Запишемо нескінченну послідовність непарних натуральних чисел і знайдемо формулу для обчислення суми кількох перших її членів.

1 + 3 = 4 = 22;

1 + 3 + 5 = З2;

1 + 3 + 5 + 7 = 42;

1 + 3 + 5 + ... (2n – 1) = n2.

Можемо висловити гіпотезу, що сума n перших членів обчислюється за формулою.

Загальний висновок зроблений на підставі розгляду кількох окремих випадків, хоча всіх можливих випадків існує безліч. Такий метод міркувань називається неповною індукцією. Хоча вона не завжди приводить до правильного висновку.

Розглядаючи числа виду + 1, французький математик П’єр Ферма (1601–1665) помітив, що коли n = 1, 2, 3, то значенням виразу є прості числа. Ці чотири випадки навели Ферма на думку, що при будь-якому n + 1, — є прості числа. Проте в наступному столітті Л. Ейлер (1707–1783) підрахував, що коли n = 5, дістанемо складне число + 1 =+ 1 = 641 x 6700417.

Іншим відомим методом доведень математичних тверджень є так звана повна індукція.

Доведення методом повної індукції полягає в тому, що доводжуване твердження розчленовують на скінченне число випадків і шляхом дедуктивних міркувань доводять окремо кожний із них. Кожне доведення за методом математичної індукції складається з трьох кроків.

1. Перевіряємо істинність твердження A(n) для n = 1, тобто істинність висловлення A(1);

2. Припускаємо, що твердження А(n) правильне для n = k і доводимо справедливість твердження A(n) для n = k + 1, тобто доводимо доводимо A(k) A(k+1).

Робимо висновки: на основі принципу математичної індукції твердження істинне для будь-якого натурального n.

Уперше цей метод зустрічається в одному трактаті французького математика, фізика і філософа Блеза Паскаля (1623–1662). Пізніше цим методом користувалися багато математиків.

Покажемо на підібраних прикладах, як використовується цей метод для розв’язування задач з теми «Многочлени».

Доведіть, що коли число 714 + 3 x 14 – 1 ділиться на 9, то і число 715 + 3 x 15 – 1 теж ділиться на 9.

Для доведення цього факту припустимо, що число 714 + 3 x 14 – 1 = 9k, де kn і скористаємося підстановкою: 714 = 9k – 3 x 14 + 1 = 9k – 41.

Отримали: 715 + 3 x 15 – 1 = 7 x 714 + 44 = 7 x (9k – 41) + 44 = 9 x (7k – 27). Так, це число ділиться на 9.

Учень довів, що число 410 – 1 ділиться на 15.

Чи можна на основі цього висновку стверджувати, що числа: а) 411 – 1, б) 412 – 1, в) 413 – 1 теж діляться на 15?

Це завдання має на меті попередити появу логічно необґрунтованих висновків.

Знайдіть усі значення m, при яких число 42m – 1 ділиться на 15.

Розв’язання:

Знайдемо кілька значень m, при яких дане число ділиться на 15.

Якщо m = 0, число 42 x 0 – 1 = 1 – 1 = 0 ділиться на 15.

Якщо m = 1, число 42 x 1 – 1 = 16 – 1 = 15 ділиться на 15.

Якщо m = 2, число 42 x 2 – 1 = 256 – 1 = 255 ділиться на 15.

Звідси можна вважати, що число 42m – 1 ділиться на 15 при будь-якому невід’ємному m. Доведемо це.

Ми вже перевірили справедливість цього твердження при m = 0. Доведемо тепер, що це твердження справедливе при m = k + 1.

Оскільки 42k – 1 ділиться на 15, то 42k = 15p + 1, де p — ціле невід’ємне число.

Звідси 42(k + 1) – 1 = 42k + 2 – 1 = 16(15p + 1) – 1 = 15(16p + 1) тобто ділиться на 15.

Отже, число 42m – 1 – 1 ділиться на 15 при будь-якому цілому невід’ємному m.>

Треба відзначити, що метод математичної індукції — це метод доведення вже готових тверджень, а не отримання цих тверджень.

• Довести, що при будь-якому натуральному n число 11n + 2 + 12n + 1 ділиться на 133.

(Якщо 11n + 2 + 12n + 1 = 133 x a, де a — ціле число, то з 11n + 3 + 12n + 1 = 11 x 133a – 11 x 12n + 1 + 122 x 12n + 1 = 11 x 133a + 133 x 12n + 1.

Довести, що при будь-якому натуральному m значення виразу m3 – 7m + 6 ділиться без остачі на 6.

Розв’язання:

Якщо m = 1, твердження істинне, бо 13 – 7 x 1 + 6 ділиться на 6. Нехай при m = k ∈ N вираз k3 – 7k + 6 ділиться на 6.

Доведемо, що (k + 1)3 – 7(k + 1) + 6 = k3 + 3k2 + 3k + 1 – 7k:– 7 + 6 = k3 –7k + 6 + 3k(k + 1) + 6 — ділиться на 6. Оскільки k чи k + 1 парне число, то кожний доданок k3 + 5k, 3k(k + 1) і 6 ділиться на 6.

Можна запропонувати такі задачі:

• Доведіть, що будь-яке ціле число гривень, більше за 7, можна заплатити без здачі грошовими купюрами в 3 грн і 5 грн.

Розв’язання:

Якщо n = 8, то твердження істинне. Нехай уже встановлено, що k грн можна заплатити лише трійками і п’ятірками, тобто k = 3t + 5p (де t і p — якісь цілі невід’ємні числа).

Доведемо, що в такому разі (k + 1) грн можна заплатити без здачі тільки по 3 грн і 5 грн. Дійсно, k + 1 = 3t + 5p + 1.

Можливі два випадки:

1) p = 0, тоді t ≥ 3, k + 1 = 3(t – 3) + 5 x 2 можна заплатити тільки трійками і п’ятірками (t — 3 трійки і 2 — п’ятірки);

2) p ≠ 0, тоді p ≥ 1, k + 1 = 3(t + 2) + 5(p – 1). Знову видно, що (k + 1) гривень можна заплатити лише трійками і п’ятірками: t + 2 трійки і (p – 1) п’ятірка);

Отже, твердження істинне для n ≥ 8.

• Знайдіть двозначне число, у якого добуток цифр дорівнює найбільшому однозначному числу і число десятків менше числа одиниць.

Відповідь: 19.

• Кількість учнів однієї школи виражається тризначним числом. Якщо знайти суму цифр цього числа, потім суму цифр отриманого числа, то всі ці числа можна записати так: ABC; BC; B, де однакові букви позначають однакові цифри. Скільки учнів у цій школі?

B = 2; BC = 20; ABA = 929.

• Для нумерації сторінок потрібно всього 1392 цифри. Скільки сторінок у цій книзі?

Рівняння. Для нумерації сторінок 1–9 потрібно по одній цифрі; сторінок 10–99 по дві цифри; сторінок 100–500 по три цифри, причому 1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 401 = 1392. Отже, у книзі 9 + 90 + 401 = 500 сторінок.

• Скількома нулями закінчується добуток усіх цілих чисел від 1 до 100 включно?

Відповідь: 21 нулем.

• Знайдіть таке двозначне число, щоб при діленні цього числа на суму його цифр отримати число, яке дорівнює дільнику.

Розв’язання.

Оскільки частка дорівнює дільнику, то шукане двозначне число дорівнює квадрату однозначного числа.

Оскільки 3 x 3 = 9 — однозначне, а 4 x 4 = 16 — двозначне, то шукане число буде серед чисел: 16; 25; 36; 49; 64; 81.

Умову задачі задовольняє лише 81, тому що 81 + (8 + 1) = 9.

• Знайти всі двозначні числа, які діляться на добуток своїх цифр.

Відповідь: 11, 12, 15, 24 і 36.

• Знайти суму всіх двозначних чисел, які при діленні на 4 дають в остачі одиницю.

Відповідь: 1210.

• Обчисліть суму 13 + 17 + 21 + 25 + ... + 81 + 85 + 89 + 93 + 97.)

• Старовинна задача. Батько мав 4 повні, 10 напівпорожніх і 7 порожніх бочок. Чи можна розділити їх між трьома синами так, щоб вони отримали по однаковій кількості повних, напівпорожніх і порожніх бочок?

Відповідь. Так, наприклад кожен син отримає 1 повну, 3 напівпорожні, 2 порожні бочки.

Метод від «супротивного»

Довести справедливість твердження: якщо A, то B (A ⇒ B) методом від супротивного — означає, замість твердження A ⇒ B довести одне з наступних рівнозначних йому тверджень:

1) сформулюємо висловлення , яке є запереченням висловлення B;

2) доводимо, що припущення про істинність висловлення приводить до суперечності.

У чому може виявитися суперечність?

Перелічимо найважливіші випадки:

1) припущення, що висловлення і A одночасно істинні, суперечать якому-небудь наперед відомих істинному твердженню (аксіомі, визначенню раніше доведеної теореми);

2) висловлення суперечить самому висловленню A (умові) або (що зустрічається частіше) якому-небудь наслідку з умови A і наперед відомих істинних висловлень;

3) з висловлень , A і наперед відомих істинних висловлень вдається вивести два твердження, які суперечать одне одному.

Розглянемо ряд прикладів і задач.

• Дайте своєму товаришеві дві монети — 5 копійок і 25 копійок; запропонуйте йому одну з них затиснути в лівому кулаці, а другу — у правому, але так, щоб ви не бачили, яка монета в якому кулаці опинилась. Запропонуйте йому потім виконати такі обчислення: Число на монеті з правого кулака помножити на 3, а число на монеті з лівого кулака на 2, скласти отримані добутки, до результату додати 6.

Нехай він скаже, скільки в нього вийшло (наприклад, 55). Після цього ви можете, міркуючи «від супротивного», дізнатися, у якій руці яка монета у знаходиться.

Міркуємо так:

Припустимо, що у лівій руці вашого товариша 5 коп., а в правій — 25 коп. У такому разі товариш, виконуючи обчислення, мав отримати 5 x 2 + 25 x 3 + 6 = 91. А він отримав 55. Отже, припущення хибне. У лівій руці товариша 25 коп.

• Вітя сказав своєму другові Колі: «Я задумав приклад на ділення, у якому ділене, дільник, частка й остача закінчуються відповідно на 1; 3; 5; 7».

Подумавши, Коля відповів: «Ти щось наплутав». Чи правий Коля?

Міркуємо так:

Припустимо, що такий приклад на ділення існує. Тоді ділене a, дільник b, частка q і остача r — непарні числа, але з рівності a = b х q + r випливає, що a — парне число. Отримане протиріччя доводить хибність пропонованого твердження. Отже, Коля правий.

• Дані 173 числа, кожне з яких дорівнює 1 і –1. Чи можна з них створити дві групи так, щоб суми чисел, які входять до кожної групи, були б рівними між собою?

Міркуємо так:

Припустимо, що такі дві групи чисел існують. Тоді в одній групі буде непарна кількість доданків, а в іншій — парна. Сума чисел в одній групі буде парною, а в іншій — непарною. Отримали протиріччя.

Формули скороченого множення.

Довести, що коли n — натуральне число, більше за 1, то число 4n – 3 не може бути квадратом натурального числа.

Припустимо, що таке натуральне число n існує і (4n – 3) є квадратом деякого натурального числа.

Очевидно, що число (4n – 3) — непарне, а тому при деякому натуральному a повинна мати місце така рівність: 4n – 3 = (2a + 1)2.

Звідси: 4n – 3 = 4a2 + 4a +1 або 4n – 3 = 4a(a + 1) + 1.

Ліва частина кратна 2, а права на 2 не ділиться. Отримали протиріччя.

Для самостійної роботи

• В одному місті не менш як 20 000 мешканців, усі вони належать до 30 національностей. Доведіть, що серед них обов’язково знайдуться 600 осіб, однієї й тієї самої національності.

• На складі було кілька сотень ящиків з яблуками трьох сортів: білий налив, осінній налив і антонівка. У кожному ящику були яблука тільки одного сорту. Частина ящиків була розпродана. Залишилось 28 ящиків. Чи можна, не відкриваючи ящиків, стверджувати, що серед них є не менш ніж 10 ящиків з яблуками одного сорту?

Доведіть правильність свого висновку способом «від супротивного».

• Сума двох цілих чисел дорівнює 53. Доведіть, що одне з них не менше 27.

• 50 коней розмістили в 7 конюшнях. Доведіть, що хоча б в одній конюшні більше 7 коней.

• Добуток трьох додатних чисел дорівнює 63. Доведіть, що хоча б одне з них менше 4.

• 99 коней розмістили в 15 конюшнях. Доведіть, що хоча б в одній конюшні непарне число коней.

Методи винахідництва

Гіпотеза

Подібно до того як метелик з’явився на світ, пройшовши стадію гусениці, так і теорія народжується спершу у вигляді гіпотези.

Гіпотеза — це якесь припущення, здогадка.

Гіпотеза не є істиною, але і не хибна.

Способи перевірки гіпотез можна розділити на емпіричні й теоретичні. Перші включають безпосереднє спостереження явищ, підказаних гіпотезою (якщо це можливо), і підтвердження в досліді наслідків, які випливають з неї. Теоретична перевірка охоплює дослідження гіпотези на непротирічність, на емпіричну можливість перевірки, на відповідність до всього класу явищ, які вивчаються. Очевидною вимогою до гіпотези є її узгодженість з фактичним матеріалом, на базі якого і для пояснення якого вона була висунута. Найкраще різницю між звичайними припущеннями і гіпотезами можна пояснити на простому прикладі.

Чотирирічний хлопчик провалився із саночками і пішов під лід. Коли через 20 хв рятівники знайшли його й витягли з води, то були наявні всі ознаки смерті. Температура тіла опустилася до 21°. Лікарі зробили все можливе, щоб його оживити. Після 1,5 год клінічної смерті серце хлопчика почало битися. Лікарі пояснили це чудо «оживлення» тим, що, опинившись у воді, тіло хлопчика сильно охололо й ніби законсервувалось.

Через кілька днів після того стала дуже повільно підвищуватися температура тіла. На 9-й день, коли з’ясувалося, що організм сам підтримує життєдіяльність, дитину перевели з реанімації в звичайну палату. Він поступово опритомнів, але забув усе, що раніше знав. Лікар сказав: «Те, з чим ми зіткнулись, не має прецеденту. Що буде з хлопчиком далі? Нічого не можна сказати, але успіхи, які робить хлопчик, свідчать про разючі темпи одужання. Узагалі, можна сподіватися на його повне одужання».

* * *

Журналіст, який розповів цю історію, завершив її так: «Якщо сьогодні дитина ожила після півтора годин клінічної смерті, то завтра люди зможуть помирати за своїм бажанням і оживати через 30, 100 років по тому».

Учений, який прокоментував цей випадок, був більш обережний у своєму прогнозі.

Існує можливість штучного уповільнення життєвих процесів організму, зокрема шляхом охолодження і введення його в стан гіпобіозу, щось подібне до зимової сплячки тварин. Це не привід для спекулятивних прожектів. Гіпобіоз може стати засобом тимчасової «консервації» життя людей, які постраждали внаслідок стихійного лиха.

Метод «проб і помилок»

Цей прийом використовують у тих ситуаціях, коли відсутні конструктивні ідеї. Багаторазові сліпі проби, помилки, маса невдало вибраних дій і, як правило, випадковий успіх, який дозволяє знайти правильний розв’язок — ось складники будь-яких спроб результату методом математичної індукції «сліпого пошуку».

Дії цього методу, не піддаються точному й повному опису, тому що його прояви в кожному конкретному випадку суто індивідуальні. Можна лише розглянути невелику серію прикладів-задач, розв’язки яких вимагають застосування методом математичної індукції «проб і помилок».

• Між числами 1, 2, 3, 4, 5 поставити знаки дій і дужки так, щоб значення виразу було 40.

Відповідь: (12 + 3 + 4) x 5 = 40.

• Поставити дужки так, щоб рівність була правильною.

9664 + 32 – 2 x 195 – 37 x 5 = 3000.

• Провести 2 прямі так, щоб розділити трикутник на:

а) два трикутники і чотирикутник;
б) два трикутники, один чотирикутник і один п’ятикутник.

• Як розрізати на дві частини прямокутник зі сторонами 4 см і 9 см так, щоб з них можна було скласти квадрат?

Поділ «цілого на частини»

Це досить універсальний прийом, суть якого полягає в тому, щоб знайти такі «складники» даного об’єкта (виразу, фігури), розгляд яких полегшує розв’язок.

• Швидко знайти результат:

Вказівка: представити кожен дріб як різницю двох дробів з різними знаменниками.

• Знайти значення многочлена x4 + 2x3 + x2 – 4, за умови, що x3 + x – 2 = 0.

Відповідь: 0.

• Розкласти на множники многочлен x3 + 1x – 12.

• Розв’язати рівняння x2 + 6x + 9 + y2 = 0.

Реконструкція «цілого за частиною»

Прийом використовують для відновлення виразу за певною його частиною, якщо цей вираз збігається з раніше вивченим або з тим, що вимагається. В алгебраїчних задачах цей прийом найчастіше набуває вигляду «доповнення до повного квадрату (куба)».

У геометрії цей прийом називають «методом математичної індукції додаткових побудов».

Розглянуті задачі рекомендовані до тем: «Множення одночленів», «Піднесення одночлена до ступеня».

• Допишіть у дужки замість (*) пропущені одночлени:

а) (*)2 x (*)3 = 49a8b9c7;

б) (*)3 x (*)2 =

a2b12c8

в) (*)2 x (12x6) = 108x8;

До теми «Формули скороченого множення».

• Доведіть, що при будь-якому значенні змінної значення виразу 9x2 – 24x + 63 — додатне число.

• З’ясуйте, при яких натуральних n число n + 4 є складеним?

Відповідь: при n ≥ 2.

Ще одне твердження.

• Заморожування будь-якої тварини, включаючи риб і амфібій, безповоротно руйнує організм, так що бажаючі заморозитися до «кращих часів» не повинні тішити себе ілюзіями.

* * *

Ці думки висловлені лікарем, журналістом, ученим.

Думка лікаря обережна, стосується конкретного випадку і відноситься тільки до найближчого майбутнього.

Думка журналіста спирається на цей одиничний випадок, але поширює його на всіх людей і на століття вперед. Перевірити такий прогноз, звичайно, немає ніякої можливості.

І, насамкінець, роздуми вченого, виважені й спокійні, пов’язують розглянутий випадок з іншими відомими фактами, з теоретичними уявленнями про уповільнення життєвих процесів.

З трьох припущень — лише останнє можна назвати гіпотезою.

I — найближчий прогноз;

II — фантазія;

III — наукова гіпотеза, яка вказує шлях подальшого дослідження.

Інверсія

Інверсія — це перестановка або розташування членів виразу, в особливому порядку з метою отримання нового виразу, який зручний для виконання наступних перетворень. Цей прийом лежить в основі різноманітних групувань, які використовують для розкладання многочленів на множники, обчислення значень числових виразів, доведення нерівностей і т. ін.

Дослівний переклад слова «інверсія» означає «перестановка», «перетворення». Більшість задач, отриманих за допомогою інверсії, відзначаються незвичайною своєрідністю.

Наочним прикладом цього є така задача:

• Одна освічена і честолюбна принцеса, усвідомлюючи, що шлюбу їй не уникнути, знайшла вихід зі становища. Вона запропонувала своїм «претендентам руку і серце», для того щоб пройти таке оригінальне випробування.

Судіть самі. Принцеса оголосила, що вийде заміж за того з них, чий кінь останнім доскаче до дуба, що видніється з вікон замка. Така пропозиція спочатку здивувала нетерплячих женихів. Чого б не так: випробування може тривати занадто довго. Але серед учасників дійства, знайшовся обдарований юнак, який запропонував блискучу ідею... Після короткої бесіди всі претенденти сіли на коней і поскакали до дерева.

Через хвилину доля принцеси була вирішена. Кмітливий юнак став судженим.

Що запропонував юнак?

Розв’язання.

Інверсія в цій задачі зустрічається двічі. Спочатку нею користується принцеса, змінюючи звичну вимогу «досягти мети першим» на протилежну — «прийти до мети останнім», роблячи тим самим, як їй здавалося, цю мету недосяжною. Принцеса допускає логічну недбалість, яку вдало використовує її майбутній обранець. Він пропонує суперникам розумне і справедливе для всіх вирішення: обмінятися кіньми. Ця ситуація відразу змінила стратегію конкурентів і наблизила її до традиційної: сидячи на чужому коні, кожен вершник зацікавлений гнати його якнайшвидше, аби залишити позаду свого власного коня.

Отже, мистецтво «інверсного» мислення вимагає певних навичок. їх нестача призводить до того, що розв’язання навіть нескладних задач, формулювання яких містять твердження в інверсійній (наприклад, із заперечною часткою «ні») формі, викликає в учнів певні труднощі. Прикладом цього може бути відома шкільна задача.

• Тані не вистачило 13 коп., а Галі — 2 коп., щоб купити по порції морозива. Коли вони склали свої гроші, їх не вистачило на покупку навіть однієї порції. Скільки коштує порція морозива?

Одні учні можуть легко її розв’язати, а для деяких вона стане недосяжною. Як же наблизитися до мистецтва інверсії, оволодіти її навичками? Простим і доступним способом для цього є вправи на постановку обернених задач. Нагадуємо, що оберненою до даної називають задачу, умова якої є вимогою, а вимога — є умовою вихідної (прямої) задачі. Коли обидві (пряма і обернена до неї) задачі мають суть, їх називають взаємно оберненими.

Наводимо приклади «інверсійних» задач.

• Обчислити суму:

12 + 32 + 52 +... + 992 + 1012 – 22 – 42 – ... – 982,– 1002.

Відповідь: 5151. (Вказівка: використати групування членів цього виразу.)

а) 1 + 3 +5 + 7+ 9 + ... + 99.

б) 99 + 95 + 91 + ... + 7 +3 – 1– 5 –... – 89 – 93 – 97.

• Розв’язати рівняння (розкладанням на множники):

8x3 – 6x2 + 3x – 1 = 0.

• Розв’язати рівняння (розкладанням на множники):

x3 – 3x3 + 2x – 6 = 0.

Нестандартні задачі

Основною ознакою стандартних задач є наявність у курсі математики таких загальних правил або положень, які однозначно визначають програму розв’язання цих задач і виконання кожного кроку цієї програми.

Звідси зрозуміло, що нестандартні задачі — це такі, які в курсі математики не мають загальних правил і положень, що визначають точну програму їх розв’язання. Наведемо приклади:

• По дереву повзе гусениця. За день вона піднімається на 6 м, а за ніч опускається на 4 м. За скільки днів вона доповзе до вершини, якщо висота дерева 14 м?

Відповідь. За 5 днів.

• На прямій через рівні проміжки поставили 10 точок, вони зайняли відрізок довжиною I. На іншій прямій через такі самі проміжки поставили 100 точок, вони зайняли відрізок довжиною L.

У скільки разів L більш за I?

Відповідь. В 11 разів.

• Знайти суму:

а)–100 – 99 – 98 – 97 –...– 1 + 2 + ... + 100 + 101 + 102.

Відповідь. 203.

б) 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + 13 + 14 –...+ 301 + 302.

Розв’язання:

1 + (2 – 3 – 4 + 5) + (6 – 7 – 8 + 9) + ... + (298 – 299 – 300 + 301) + 302 = 303, оскільки сума цифр у кожній дужці дорівнює нулю.

• Знайдіть два числа, сума, добуток і частка яких рівні між собою.

• Чи може значення виразу

, де a — ціле число, бути цілим числом?

Якщо так, то при яких значеннях a?

Відповідь. –3; –5; –7; –9. (Розв’язувати методом перебору.)

• Запишіть у рядок одне за одним 10 перших простих чисел у порядку зростання. В отриманому багатозначному числі закресліть половину так, щоб число, утворене залишеними цифрами було:

а) найменшим;
б) найбільшим.

Розв’язання:

Запишемо 10 перших простих чисел: 2 3 5 7 1 1 1 3 1 7 1 9 2 3 2 9.

а) 11111229;
б) 77192329.

• На одну шальку терезів поклали брусок мила, на другу — 3/4 такого самого бруска і ще 3/4 кг. Терези урівноважились. Скільки важить брусок?

Розв’язання:

Приклади нестандартних задач

• Відстань від річки турбази туристи розраховували пройти за 6 год. Але після 2 год шляху вони зменшили швидкість на 0,5 км/год і в результаті запізнилися на турбазу на 30 хв. Якою була швидкість туристів спочатку?

Розв’язання.

Позначимо початкову швидкість туристів через x км/год. Тоді за 6 год, за які туристи планували пройти відстань від річки до турбази, вони пройшли б 6x км. Фактично, цей шлях вони пройшли так: 2 год вони йшли з початковою швидкістю, а потім ще 4,5 год (бо вони запізнились на 0,5 год) зі зменшеною швидкістю (x – 0,5) км/год. Отже, вони пройшли 2x км і 4,5 x (x – 0,5) км, а всього 2x + 4,5 x (x – 0,5) км, що дорівнює відстані від річки до турбази, тобто 6x км.

Отримуємо рівняння: 2x + 4,5 x (x – 5) = 6x x x = 4,5.

Отже, початкова швидкість туристів дорівнює 4,5 км/год.

Проаналізуємо процес наведеного розв’язання задачі. Спочатку визначимо тип задачі («текстова задача») і, виходячи з цього знаходимо ідею розв’язання («складанням рівняння»). Для цього, користуючись загальними вказівками і зразками розв’язків подібних задач («потрібно позначити одне з невідомих буквою, наприклад х, і виразити решту невідомих через х, потім з отриманих виразів скласти рівняння»), склали рівняння. Отримане рівняння є уже стандартною задачею. Розв’язуючи її, ми тим самим розв’язали вихідну нестандартну задачу.


Категорія: математика | Додав: Nicolaj
Переглядів: 28 | Завантажень: 2 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Ім`я *:
Email *:
Код *:
Пошук
Реклама

Copyright Кунцівська ЗОШ I-III ступенів © 2017