Четвер, 13.12.2018, 21:00
Вітаю Вас Гість | RSS

Кунцівська школа    
ВІРТУАЛЬНИЙ МЕТОДИЧНИЙ КАБІНЕТ

Статистика

Онлайн всього: 2
Гостей: 2
Користувачів: 0

Каталог файлів

Головна » Файли » Уроки » математика

Звичайні дроби: множення, ділення
[ Викачати з сервера (576.4 Kb) ] 29.09.2018, 09:41

Звичайні дроби: дії
Вивчення виконання дій
над звичайними дробамиі

Автор матеріалу: Н.Г. Скнар

Пропонується методика введення і виконання дій над звичайними дробами, що вивчаються в шкільному курсі математики 5-6 класів, за допомогою ігрових ситуацій.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ:
Десятковий дріб: поява десяткових дробів
Десятковий дріб: додавання та віднімання
Десятковий дріб: множення та ділення

Порівняння звичайних дробів

Скоро казка мовиться, та не скоро справа робиться. Трапилася в Івана-Царевича затримка на шляху. Побачив він на дорозі лісовій під великою ялиною вороненя. Того вороненя шуліка-злодій з гнізда викрав, от візьми та й оброни. Підібрав Іван-Царевич пташеня, нагодував хлібом.

— Що із бідолахою робити,— гадає, — де його гніздо шукати? Дивиться, у пташеняти на лапці кільце, а на ньому дроби написано:

98 , 16 , 1516 , 2732 , 12 .

— Розповіла мені матінка,— каже вороненя,— який дріб що позначає... Матінка-то розповіла, так вороненя все позабувало! Що з нього взяти — малесеньке! Одне тільки пам’ятало — якийсь із дробів відстань від найбільшої ялинки до гніздечка позначав.

Тут, звідки ж то взялося, шишка ялинки прямо в лоб Івану поцілила! Повів той головою, а на ялинці білка сидить, регоче-заходиться. Ну, Іван на білку гнівитися не став, про гніздо спитав. Білка ще шишку кинула.

— Ця ялина найбільшою і є! Познач шишками 712 та 78 уздовж дороги, між ними гніздо й знайдеш.

Став міркувати Іван, у яких місцях білчини шишки на дорогу покласти, числа 78 та 712 позначити.

Спочатку здалося йому, що 712 більше, ніж 78 . А потім вирішив, що нічого гарячкувати, та й почав все за правилами робити. Склав мотузку у дванадцять разів, а згин вуглинкою позначив.

От що вийшло:

— От як, 712  < 78 виявилося.

А білка на ялині посміхається.

— Ей ти, рисувальник, картинку зробив, і що з того?

— Як це що? Я от зрозумів, що з двох дробів з однаковими чисельниками той більший, у якого знаменник менший. Чи правило моє не годиться?

— А хоча ж б і годилося — сенсу-то немає. Гнізда — не видно!

Доведеться шукати, якому з дробів 98 , 16 , 1516 , 2732 , 12 поміж шишок місце.

712  < < 78

Перебирати дроби почну з 98 . Із цим усе зрозуміло: 98 > 78 . Іще правило: «З двох дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого більший чисельник» і «Кожний неправильний дріб більший за правильний».

Узявся Іван-Царевич за інший дріб, 12 витягнув. Та не випадково, а поміркувавши. Цей дріб позначити на мотузці легко — посередині між ялиною і вузлом йому місце. 12 = 48 = 612 . Тобто 12 < 712 . Тож це не є адресою гнізда.

Подивився Іван на дроби, що залишалися, і каже:

— Я 12 щойно відкинув, малий він виявився. Тож 16 — ще менше! Отже, і 16 нам не потрібний:

Далі шукати треба! 1516 > 77 , тому що 77 = 1416 .

Один дріб залишився — 2732 . Останній! Там, де його місце, там і гніздо!

Відміряв Іван 2732 від ялинки та й руками розвів. Гнізда там і близько немає.

Ось такі справи...

— Невже я помилився?

Узявся перевіряти.

712  , 78 , 2732 .

НСК(12; 8; 32) = 96;

7∙812∙8   = 56967∙128∙12  = 8496 , 27∙332∙3   = 8196 .

5696 < 8196 < 8496 ; 712  < 2732 < 78 .

Або 712  =7:12 = 0,583, 2732 = 27:32 = 0,844, 78 = 7:8 = 0,875.

Зажурився Іван, сили немає. Ну, як же — душею до Олени тягнеться, та й вороненя залишити не можна — ось він і засумував.

А білка на Івана уважно дивиться. Думай, мовляв...

— Ох, я, голова полова,— каже Іван, — як це я відразу не второпав! Відстань від гнізда до ялини, звичайно, 2732 буде, тож відкласти цю відстань і в протилежному напрямку можна. Отже, не позад ялини те гніздо вороняче, а попереду неї.

Узяв Іван мотузку, пішов від ялини в інший бік дорогою і відміряв. Саме тут і знайшов гніздо, вороненя в нього посадив. Ото вже радощів було!

Махнув рукою на прощання, та до Олени поїхав. їде та й думає!

— Помилки припустився тому, що не в той бік від ялини шишки поклав.

Та й не моя помилка, а білчина. Це вона, пустунка, мені напрям уздовж дороги не вказала. А якщо є два протилежних напрями вздовж дороги — то так само й дроби, мабуть, є, які звичайним дробам протилежні!

Правда, є в Оленчиному царстві протилежні числа. Як не бути! Тож і знак їм дібрали такий, як і в Івановому царстві, знак «мінус». Адреса гнізда воронячого на Івановому рисунку є.

Множення звичайних дробів

Узяв Іван-Царевич торбу зі звичайними дробами і пішов далі.

Дійшов до місця, де три дороги лісові в різні боки розходяться. Якою ж іти далі? Сів на пеньок, замислився. Про Бабу-Ягу згадав. А вона вже тут. Із кошиком стоїть, за грибами, мабуть, пішла.

— Я вже тобі підсоблю,— каже.

Вийшла на те місце, де дороги розходяться, пошепотіла щось, а на дорогах правила визначилися.

Добуток двох дробів дорівнює дробу, в чисельнику — добуток чисельників, а у знаменнику — добуток знаменників

abcd = a∙cb∙d

Сумою двох дробів є дріб, знаменник — НСК знаменників, чисельник — чисельник першого дробу, помножений на його додатковий множник плюс чисельник другого дробу, помножений на його додатковий множник Частка двох дробів дорівнює добутку діленого на дріб, обернений до дільника

Хотів було Іван здивуватися, чому доріг усього три, а не чотири, та Баба-Яга поквапила його.

— Обирай шлях, Івасику!

Хоча сам Іван-Царевич був не з простих, а вибрав шлях, де найпростіше на вигляд правило записане було — правило множення дробів.

Пройшов дорогою деякий час, та й думає.

«А чого ж це я йду, дріб у мене в торбі, правила на дорозі, дай-но помножу!» Дістав пару дробів звичайних, 23 та 12 , примірив до правила.

abcd = a∙cb∙d  ; 2312 = 2∙13∙2  = 26 = 13 .

— Не може бути того! Множив, множив, а дістав менший, ніж був:

13 < 12 ; 13 < 23 .

— Ото заморочка!

Згадав тут Іван-Царевич, як множенню навчався ще у своєму царстві. Було у нього два вчителі, з одним він, множачи, всі суми однакових доданків шукав. Подивився Іван-Царевич на добуток 2312 і каже:

«Як це одну другу можна дві третіх разів доданків узяти?»

Почухав потилицю та згадав другого вчителя. Той до всіляких прямокутників охочий був, Іван з ним ті прямокутники креслив, так їхні площі множенням обчислював.

Поміркувавши так Іван, намалював на дорозі рисунок

і побачив, що площа прямокутника 23 довжиною і 12 шириною складає 26 .

А якщо десяткові дроби перемножити

0,3 ∙ 0,4 = 0,12; 0,3 = 310  ; 0,4 = 410  ; 0,3 ∙ 0,4 = 310  ∙ 410  = 12100  = 0,12.

Відомо, що 4 ∙ 5 = 20. А за Оленчиним:

4 = 41 , 5 = 51 , 4 ∙ 5 = 4151 = 201  = 20.

Знову результат такий самий, як і в десятковому царстві. Мабуть, правила множення в Оленчиному царстві з правилами в царстві Івана-царевича повністю співпадають. А якщо так, треба цим Оленчиним множенням краще оволодіти.

Дістав Іван пару дробів звичайних і помножив.

79310  = 7∙39∙10  = 2190 = 730  .

А коли перемножив, то й так зметикував, що обчислення спростити можна:

79310  = 7∙39∙10  = 7∙13∙10 = 730  .

Зметикував та й на вус собі намотав, що не слід поспішати обчислювати добуток у чисельнику та знаменнику дробу. Спочатку подивитися треба, чи можна цей дріб скоротити.

З дорожнього правила множення можна декілька приміток зробити.

Щоб помножити звичайний дріб на натуральне число, треба помножити на це число чисельник дробу. Цей добуток зробити чисельником нового дробу, а знаменник нового дробу залишити таким, яким був знаменник даного дробу.

57 ∙ 3 = 5∙37

Щоб перемножити змішані числа, треба перетворити їх на неправильні дроби, за дорожнім правилом перемножити, а потім, у разі потреби, цілу частину виділити.

315 ∙ 315 = 165  ∙ 165  = 2565   =10625  ,

57 ∙ 315 = 57165  = 5∙167∙5  = 167  = 227 .

Якщо потрібно звичайний дріб на десятковий помножити, є два шляхи: перетворити звичайний дріб на десятковий, а потім помножити, або перетворити десятковий на звичайний. Коли як зручніше... Треба, однак, пам’ятати, що другий шлях завжди обрати можна, а перший — ні, тому що не кожний звичайний дріб на скінченний десятковий можна перетворити.

0,01 ∙ 57 = 1100   ∙ 57 = 5700   ,

0,01 ∙ 57 = 0,01 ∙ 0, 07142 = ? .

Якщо потрібно множити звичайні дроби-перевертні, то результат буде — кращого немає — одиниця. 5775 = 1.

Наукова їх назва — взаємно обернені дроби.

Ділення звичайних дробів

Повертається Іван-Царевич назад і розмірковує:

— Йду зовсім без користі, тільки час марно витрачаю.

Тільки подумав так, дивиться — камінчик білий прямокутної форми на дорозі лежить. На камінці — задача для подорожнього:

Відома площа прямокутника 12 дм2 і довжина однієї сторони 34 дм. Яка довжина суміжної сторони?

Івану-царевичу задача легкою здалася. Навіть прикро стало: що це таке — все площа та площа. Невже він недоумок якийсь! Але розв’язувати все ж таки почав, зрозумів, що камінець для нього навмисне підкинутий. Адже задачі не було, коли він за множенням ішов!

— Я вже майже років зо три все про площу прямокутника знаю,— говорить Іван-Царевич та от що записує:

— Так! Записати-то легко, а поділити як? Як дроби звичайні діляться? От у чому заковика! Нумо, я з іншого боку до цієї задачки підберуся.

34x = 12

Спробую множник x підібрати, щоб правильну числову рівність дістати:

13∙2124∙31 = 12 ; x = 23 ; 3423 = 12 ,

отже, 23 = 1234 .

— Ох,— говорить,— що за морока з діленням цих звичайних дробів, скільки часу підбирати множники доводиться! Не позаздриш тутешнім мешканцям, от бідолахи!

Дивиться, Баба-Яга знов коло дороги тупцює та говорить щось:

— Ось ще! Жалільник знайшовся...

— Чого ти, бабусю, гніваєшся?

— Раніше мене б спитав, так, мовляв і так, бабусю, скажи, як ви у своєму царстві з діленням упорядковуєтеся. Спрямуй мене на добрий розум!

Баба-Яга на камінець білий дмухнула, на ньому і підказка з’явилася:

— Зручний спосіб ділення ти мені показала. Та тільки чи немає тут якоїсь помилки?

— А ти перевір, Хомо невіруючий.

Почав перевірку Іван. Достеменно було відомо йому, що 20:5 = 4. Узяв та перевірив результат за новим способом:

20:5 = 201  : 51 = 201  ∙ 15 = 20∙11∙5  = 4.

Ще приклад узяв:

2,44:0,8 = 24,4:8 = 3,05;

2,44∶0,8 = 244100 : 810  = 61244∙10110100∙82  = 61∙110∙2 = 6120 = 3,05.

І ще склав приклад для перевірки:

2 : 13 = 21 : 13 = 2131 = 6.

— От і чудово,— говорить,— частка від ділення вийшла більшою, ніж ділене! Хоча й у нас таке бувало. Та й отут, якщо поміркувати, то все збігається. У двох цілих дріб 13 якраз 6 разів і міститься.

— Ти дивись, бабусю,— дивується Іван,— що вийшло! Ділити треба, а я множу. Множу, чуєш, ділене на дріб, обернений дільнику! А якщо дільник змішаним числом буде? І тоді впораюся — перетворю змішане число на неправильний дріб, а йому знайду умить обернений.

— Чи довго чи збираєшся так вправлятися?

— А я в найзагальнішому вигляді перевірку зроблю, для всіх дробів разом:

І перевірю я твоє правило множенням: помножу частку на дільник, і якщо отримаю ділене, то твоя правда:

a∙db∙ccd  = a∙1d∙c1b∙c1∙d1 = ab .

— Справді,— каже,—

ab : cd = abdc .

І дописав: c ≠ 0.

— Усе! Твоя взяла, бабусю. Але я задоволений, мені твоє правило сподобалося.

Щоб поділити один звичайний дріб на інший, треба ділене помножити на дріб, обернений дільнику.


Категорія: математика | Додав: Nicolaj
Переглядів: 39 | Завантажень: 1 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Ім`я *:
Email *:
Код *:
Пошук
Реклама

Copyright Кунцівська ЗОШ I-III ступенів © 2018