Четвер, 13.12.2018, 19:32
Вітаю Вас Гість | RSS

Кунцівська школа    
ВІРТУАЛЬНИЙ МЕТОДИЧНИЙ КАБІНЕТ

Статистика

Онлайн всього: 1
Гостей: 1
Користувачів: 0

Каталог файлів

Головна » Файли » Уроки » математика

Звичайні дроби: поняття
[ Викачати з сервера (1.40 Mb) ] 25.09.2018, 16:46

Звичайні дроби
Вивчення поняття дробових
чисел у цікавій ігровій формі

Автор матеріалу: Н.Г. Скнар

Пропонується методика введення і виконання дій над звичайними дробами, що вивчаються в шкільному курсі математики 5-6 класів, за допомогою ігрових ситуацій.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ:
Десятковий дріб: поява десяткових дробів
Десятковий дріб: додавання та віднімання
Десятковий дріб: множення та ділення

Виникнення звичайних дробів

У тридесятому царстві, у тридесятій державі жив собі цар, і був у нього син Іван.

Цар прочув, що за тридев’ять земель, в деякому царстві є якісь дроби звичайні. Покликав цар Івана і каже:

— З’їздив би ти, Іване-Царевичу, в деяке царство та привіз би тих дробів звичайних хоча б дюжину. От я б, старий, наприкінці життя й утішився.

Почав Іван у дорогу збиратися, так розмірковувати: «Що то за штука така — “дріб звичайний”?» Не те, щоб слово «дріб» було йому зовсім незнайоме — вже давно він прознав про десяткові дроби і навіть дуже швидко з ними впорався. Але от про звичайні в їхнім тридесятім царстві до того й не чув.

— Ну, та нічого, роздобуду дюжину, потішу батюшку,— вирішив Іван-Царевич, скочив на коня та й вирушив у путь-доріжку.

Їхав він довго чи коротко, та ось приїхав до хатинки. А в хатинці — Баба-Яга сидить і скиглить:

— Ой, солоденького хочеться.... Ой, сили немає, як хочеться!

Розповів їй Іван-Царевич про своє житгя-буття — про клопіт, як заведено. Баба-Яга задоволена ним залишилася та й каже:

— Ну, дитя моє миле, до деякого царства ти вже дістався. А секрети звичайних дробів — у моєї дочки, Олени Прекрасної.

Прокинувся Іван-Царевич зранку та вирушив в деяке царство, прямісінько до крамниці із солодощами, із різними товарами заморськими.

Дивиться — товару солодкого розкладено видимо-невидимо, коло товару картинка висить:

44 торта .— 2410 гроша 14 торта коштує 34 гроша

Покупців багато, та розмови всі ведуть дивні. Перший просить одну четверту торта.

Другий просить вісім четвертих торта.

Третій — шість четвертих торта.

— Ет, спробую і я! — насмілився Іван-Царевич.

— Будь ласка, мені цілий торт! Тобто один торт.

А крамар не розуміє! Написав тоді Іван-Царевич грамотку, а в ній цифру 1. Один торт, значить. А крамар знову не розуміє. Розлютився Іван-Царевич, схопив сам торт. От, мовив, що мені потрібно. Зрозумів крамар, розвеселився.

Чотири четвертих торта, — каже і на грамотці пише: 44 .

— Чому це в них один торт прозивається чотири четвертих? І в грамотці як 44 пишеться? Та й скрізь, під кожною покупкою пара чисел значиться? Одне під іншим, риска посередині, а під рискою все четвірка бачиться, — розмірковує Іван-Царевич,— Кожний торт на 4 рівні частини поділений, кожний і купує тих частин четвертих, скільки йому треба. Цю четвірку вони під рискою пишуть. А число над рискою зазначає, скільки тих четвертинок у крамниці куплено.

Почухав Іван-Царевич потилицю і пішов, було, назад до Баби-Яги, так дорогою завернув до іншої крамниці, мануфактурної. Вирішив він для Олени Прекрасної окрайку в подарунок вибрати. У нього на такий випадок мотузочка прихована була. Та от тільки крамар йому дістався вибагливий, на мотузочку й дивитися не став, даремно що з царевичових рук! Наказав до мірної виставки підійти, там розмір окрайки й визначити. Підійшов Іван-Царевич до мірної виставки та став її розглядати. Багато лінійочок на тій виставці було понароблено, кожний довжиною з аршин. Одну таку міру-лінійку хтось на дві рівні частини поділив, та позначку поставив. Іншу — на три рівні частини. Ну й так далі. Тільки перша міра-лінійочка зовсім не була поділена. А остання — на десять частинок поділилась.

Надивився вдосталь, за мотузочку взявся. Один кінець її до мітки 01 приклав і мотузочку вздовж лінійочки потягнув. Короткою мотузочка

Надивився вдосталь, за мотузочку взявся. Один кінець її до мітки 01 приклав і мотузочку вздовж лінійочки потягнув. Короткою мотузочка виявилася, менша за аршин, до позначки 11 — не дотягнулась. Приклав початок мотузочки до 02 на сусідній лінійці — знов невдача, проскочив кінець мотузочки позначку 12.

Так ото й вправлявся, аж доки до лінійочки із позначкою 07 не дістався. Тільки тут в точку влучив — збігся кінець мотузки із позначкою 57.

57 аршина — ось яка в Олени в талія.

Тут Іван-Царевич вирішив до Баби-Яги повернутися. Справу закінчено. По-перше, треба було їй гостинець обіцяний доставити, а друга справа — Івану-царевичу Олена Прекрасна вельми до серця припала. От прийшов він до Баби-Яги. Так, мовить, й так. А в тієї вже й самовар закипів! Чаю з тортом попили. Баба-Яга дуже задоволеною залишилася. Молодець і добрий, і ввічливий, і розумний. Власноруч дроби здобув. Такого дочці показати можна, незважаючи на те, що Прекрасна!

А Іван-Царевич знов замислився. Про свої натуральні числа згадав — він ще в крамниці збагнути встиг, що їх за допомогою звичайних дробів писати можна. 1 = 44 ; 3 = 124

Іван Бабі-Язі подякував, вклонився їй тричі в пояс та сів писати пам’ятну грамоту для свого царя-батюшки. Пише, пише, а як втомиться — про Олену Прекрасну мріє...

— Чи приготував ти дюжину дробів для батюшки?

— Приготував, ось мішок.

—А навіщо дроби рівні узяв? Візьми вже різні! Дробів-то в мене не перелічити, не шкода.

— Що ти, бабцю! Я різні дроби узяв, сама подивись!

— На вигляд-то різні, та одну й ту саму величину позначають, то— му-то ці дроби й рівними вважаються.

— Як так?

Дала Баба-Яга декілька клаптиків Іван-Царевичу, рівненьких, всіх однакової довжини. Та напекла млинців йому круглих, але їсти не веліла.

Почав Іван-Царевич дроби зі свого мішка витягувати, перевіряти — чи справді вони рівні? Витяг 12, 24, 28, 816 . А Баба-Яга йому допомагала, приказуючи:

— Смужка клаптикова — це ціле число 1. Тепер, голубчику, на знаменник подивися. Що означає знаменник 2?

— Що клаптик на дві рівні частини поділити треба. А чисельник 1 підказує, що потім одну тільки частину узяти.

— Так чого ж ти пнем стоїш? Згинай смужку, чи даремно я тобі наочне приладдя виготовила.

Згорнув Іван-Царевич клаптик навпіл, та й млинець теж... Половинки отримав.

І почав Іван-Царевич далі клаптики та млинці згортати, як того дроби з мішка веліли. Ось що він дістав:

Іван-Царевичу набридло клаптики згортати та частинки перераховувати. І справді, скільки можна! Не все життя ж так. Почухав він потилицю та став думати-гадати

816  = ?12 .

По-перше, здогадався, що 16 • 2 = 32. А далі вже легко пішло:

816  = 8∙216∙2 = 1632 .

Отже,

12 = 1632 , 12 = 3264 .

А Іван-Царевич радий-радісінький, ще більше старається:

1∙22  = 2∙24  = 4∙28  = 16∙232 , або 1632:2  = 816:2    = 48:2    = 24:2    = 12 ,

або 16:32=8:16 = 4:8 = 2:4 = 1:2.

Згадав Іван-Царевич, що під час ділення ділене та дільник в одну й ту саму кількість разів збільшувати або зменшувати можна:

2∙44∙4  = 816.

Чисельник та знаменник можна на одне й те саме число хоч множити, хоч ділити. Тільки на нуль множити та ділити не можна. І дістається щоразу дріб, що дорівнює первісному.

Он штука-то яка! Адже недаремно її золотою властивістю дробу кличуть.

Отже, ділення чисельника та знаменника дробу на одне й те саме число, яке відмінне від нуля, можна назвати скороченням дробу:

8:816:8   = 12 , 7:714:7   = 12 , 50:50100:50   = 12

А вже 12 — то дріб нескоротний. 13 , 14 , 57 — теж нескоротні дроби, чисельник та знаменник в них — числа взаємно-прості.

Вирішив Іван-Царевич тим часом дюжину дробів для батюшки все ж таки зібрати, та не тільки за виглядом, а й за величиною різних.

По-перше, 12 у торбу кинув. Запустив руку до іншого мішка та витяг звідти дріб 10921001 .

— Ох, ти,— каже,— треба б щось простіше, щоб батюшка не злякався.

Вирішив, було, цей дріб на рівний замінити, щоб не такий страшний був. Та як? Чисельник та знаменник у дробу ані на 2, ані на 4, ані на 5 одночасно не діляться.

— Схоже, дріб-то цей нескоротний! Ну, куди ж його тепер? Може, назад у мішок покласти?

Дивилася Баба-Яга на це, дивилася та й не витримала:

— Ти, певно, науку про подільність вивчав? Що робити, коли не можеш з ходу спільні дільники за допомогою ознак подільності знайти?

— Знаю,— відповідає Іван,— по-перше, на множники розкладу, потім спільні множники знайду та на них чисельник та знаменник дробу розділю.

10921001 = 2∙2∙3∙7∙137∙11∙13   = 2∙2∙3 11 = 211.

— А чи міг би ти одним махом 10921001 на нескоротний дріб перетворити? Про найбільший спільний дільник чув?

— Це про НСД чи що? Як не чув, чув:

НСД(1092; 1001) = 7 • 13 = 91

1092:911001:91 = 1211 .

Хотів було Іван 1211 в торбу для батюшки покласти, та роздумав. Вирішив спочатку всі мішки дослідити і розвісити на мотузці, що Баба-Яга натягнула.

— Матінко! — не втримався Іван,— Вішалка — точно числовий промінь! Тільки числа на цьому промені дробом записані. Ми на числовому промені натуральні числа відрізняли, та десяткові дроби, та нуль. А в них точки на промені звичайними дробами відзначені. От і вся різниця! А якщо подумати, то ось вони в них, наші натуральні числа:

1 = 11 = 22 = …

2 = 21 = 42 = 63

І для нуля гачок є: 0 = 01 = 02 = …

І позначки, що десятковим дробам відповідають, є:

Адже і 110 , і 0,1 означають, що одиничний відрізок на промені на десять рівних частин поділили та одну частину взяли, 210  і 0,2 — то значить, що з тих десяти частин дві узяті. Поглянь-но, і ось такий гачок є:

3100    = 0,03. Ну, а чому б їм не бути? У цьому царстві Олениному будь-яку річ на яке завгодно число ділять, хочеш на 10, хочеш на 1000. Он як!

Пришпорив Іван коня, поскакав кінь галопом лісами, долами, перелісочками. Кінь скаче, а Іван думу гадає, що будь-який дріб з його рідного тридесятого царства можна по-Оленчиному записати, у вигляді звичайного дробу:

0,7 = 710 ; 0,5 = 510  = 12 ; 0,032 = 321000    = 16500   = 8250     = …

А як до цього додумався, так і інша думка в голову прийшла. Чи будь-який дріб звичайний можна записати по-нашому, по тридесятому?

12 = 1: 2 = 0,5.

13 = 1: 3 = 0,3333...

14 = 1: 4 = 0,5.

15 = 1: 5 = 0,2.

16 = 1: 6 = 0,1666...

34 = 3: 4 = 0,75.

57 = 3: 4 = 0,71428571.

У деяких випадках ділення закінчилося, і звичайний дріб на скінченний десятковий перетворився. Ось так 34 на 0,75 перетворилося.

А в інших випадках ділив-ділив Іван, та ділення закінчити так і не зміг, виходили нескінченні періодичні:

13 = 0,3333...= 0,(3);

16 = 0,1666...= 0,1(6);

57 = 0,71428571...= 0,(714285).

— Ех,— говорить Іван-Царевич,— от би правило яке розвідати, за яким дізнатися можна, чи перетвориться нескоротний звичайний дріб на скінченний десятковий, чи перейде? Ось, наприклад, дріб 143. Як з ним бути?

143 = 710  ,  143 = ?100    , 143  = ?1000

Числа 10, 100,1000,... усі знаменнику 3 не кратні! Трійки в їх розкладенні не знайдеш!

(10 = 2 • 5; 100 = 2 • 2 • 5 • 5; ..., 10n =2n • 5n)

Тобто 143 ніяк дробом зі знаменником 10n не стане! Не можна, отже, його на скінченний десятковий перетворити:

143  = 4,66...= 4,(6).

Мабуть, щоб нескоротний дріб на скінченний десятковий перетворився, в нього особливий знаменник має бути. Якщо його на прості множники розкласти, так у тому розкладенні тільки п’ятірки та двійки мають бути. От як!

Дроби різні

Спробуємо дробу 143 на числовому промені місце знайти.

Позначив Іван-Царевич на промені одиницю і роздробив її на три частини.

Відклав на промені 14 таких частинок третіх та одиниці виділив, щоб рисунок зрозумілішим став:

Виявилося, що 143 дорівнює 4 цілим та 23. Усю цілу частину завдяки цьому Іван-Царевич виділив. І помітив він, що 4 та 23 зручніші в роботі, ніж 143 , адже 4 та 23. легше на промені відкладати. Дріб 143 є не частинкою від одиниці, а число, яке більше за одиницю. Такі дроби вже зустрічалися: 64 або 124 .

Ось так! Такі дроби називають «неправильними». Вони числа виражають ті, які більші за одиницю. «Неправильними» ще й ті дроби вважаються, які одиниці дорівнюють, 44 наприклад. У дробів неправильних завжди чисельник більший за знаменник або дорівнює йому. І завжди неправильний дріб записати по-іншому можна, як ти щойно зробив: 143 = 4 та 24. Ціле число, а при ньому дробова частина знаходиться! Можна і так записати:

143 = 4 + 23 або 143 = 4 23.

— Ну й число! І не ціле, і не дріб, змішане якесь... 4 23.

Тутешні мешканці так і кличуть — змішане число.

Якщо зустрінешся зі змішаним числом, наприклад 256, як його на дріб перетворити? Спробуємо. Шостими частинами тут виміряно, тобто у двох цілих тих шостих частин: 2•6 = 12. Та ще 5 шостих частин у дробовій частині. Разом у числі 256 шостих частин (2•6+5) міститься: 256 = 2∙6+56  = 176. Отже, перетворилося змішане число на неправильний дріб.


Категорія: математика | Додав: Nicolaj
Переглядів: 38 | Завантажень: 1 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Ім`я *:
Email *:
Код *:
Пошук
Реклама

Copyright Кунцівська ЗОШ I-III ступенів © 2018